Pembahasan Soal Lengkap Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

Pembahasan Lengkap Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

FUNGSI KOMPOSISI
Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
Pembahasan Soal Lengkap Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g
(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f
Contoh Soal 1:
Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) …
Jawab:
(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x
(f o g)(x) = 3(2x)-4
(f o g)(x) = 6x – 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x
(g o f)(x) = 2(3x-4)
(g o f)(x) = 6x-8

Syarat Fungsi Komposisi
Contoh Soal 2
Misal fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut :
f : {(-1,4), (1,6), (3,3), (5,5)}
g : {(4,5), (5,1), (6,-1), (7,3)}
Tentukan :
a. f o g d. (f o g) (2)
b. g o f e. (g o f) (1)
c. (f o g) (4) f. (g o f) (4)
Jawab :
Pasangan terurut dari fungsi f dan g dapat digambarkan dengan diagram panah berikut ini
a. (f o g) = {(4,5), (5,6), (6,4), (7,3)}
b. (g o f) = {(-1,5), (1,-1), (3,3), (5,1)}
c. (f o g) (4) = 5
d. (f o g) (2) tidak didefinisikan
e. (g o f) (1) = -1

SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif
(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif
(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x
(f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

MENENTUKAN FUNGSI BILA FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI YANG LAIN DIKETAHUI
Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 3
Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.
Tentukan fungsi g (x).
Jawab :
(f o g) (x) = -4x + 4
f (g (x)) = -4x + 4
2 (g (x)) + 2 = -4x + 4
2 g (x) = -4x + 2
g (x) = -4x + 2
2
g (x) = -2x + 1
Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

FUNGSI INVERS
Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x)merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.
Cara menenukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:
Pertama
Ubah persamaan y = f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua
Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi yitu dinamakan sebagai f-1(y)

Ketiga
Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi f-1(x)]
Contoh Soal:
Tentukan fungsi invers dari persamaan berikut :
f(x) = 3 - 2x dan f(x) = $\large\frac{3x + 4}{2x - 1}$
Jawab :
f(x) = 3 - 2x
y = 3 - 2x
2x = 3 - y
x = $\large\frac{3 - y}{2}$
$f^{-1}(y)$ = $\large\frac{3 - y}{2}$
$f^{-1}(x)$ = $\large\frac{3 - x}{2}$

 f(x) = $\large\frac{3x + 4}{2x - 1}$
y = $\large\frac{3x + 4}{2x - 1}$
y(2x - 1) = (3x + 4)
2xy - y = 3x + 4
2xy - 3x = y + 4
x(2y - 3) = y + 4
x = $\large\frac{y + 4}{2y - 3}$
$f^{-1}(y)$ = $\large\frac{y + 4}{2y - 3}$
$f^{-1}(x)$ = $\large\frac{x + 4 }{2y - 3}$

Demikian sedikit ulasan yang dapat kami saya uraikan seputar materi Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers untuk menambah pengetahuan kalian mengenai materi matematika tersebut.

Berikut contoh soal yang di UN kan:

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2012
Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = $x^2 + 2x− 3$. Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) = ….
A. $2x^2 + 4x − 9$
B. $2x^2 + 4x − 3$
C. $4x^2 + 6x − 18$
D. $4x^2 + 8x$
E. $4x^2 − 8x$

Pembahasan
Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) artinya fungsif(x) tersarang dalam fungsi g(x) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g(x).
g(x) = $x^2 + 2x − 3$
(g ∘ f)(x) = $f(x)^2 + 2f(x) − 3$
= $(2x − 3)^2 + 2(2x − 3) − 3$
=$ 4x^2 − 12x + 9 + 4x − 6 − 3$
=$ 4x^2 − 8x$
Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2011
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) = $\large\frac{x - 1}{x + 4}, x \neq {-4}$

Hasil dari (f ∘ g)(x) = ….

a. $\large\frac{7x - 2}{x + 4}, x \neq {-4}$

b. $\large\frac{2x + 3}{x + 4}, x \neq {-4}$

c. $\large\frac{2x + 2}{x + 4}, x \neq {-4}$

d. $\large\frac{7x + 18}{x + 4}, x \neq {-4}$

e. $\large\frac{7x + 22}{x + 4}, x \neq {-4}$

Pembahasan
Dengan berpedoman pada fungsi f(x) soal di atas dapat diselesaikan sebagai berikut:
f(x) = 2x + 5
(f ∘ g)(x) = 2g(x) + 5

= 2$(\frac{x-1}{x+4})$ + 5

= $\frac{2x-2}{x+4}$ + $\frac{5x + 20}{x+4}$

= $\frac{7x + 18}{x+4}$

Jadi, nilai dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (D).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2013
Diketahui fungsi
g(x) = $\large\frac{x + 1}{2x - 3}, x \neq {\frac{3}{2}}$

Invers fungsi g adalah g−1(x) = ….

a. $\large\frac{3x - 1}{2x - 1}, x \neq {\frac{1}{2}}$

b. $\large\frac{3x + 1}{2x - 1}, x \neq {\frac{1}{2}}$

c. $\large\frac{-3x - 1}{2x - 1}, x \neq {\frac{1}{2}}$

d. $\large\frac{3x - 1}{2x + 1}, x \neq {-\frac{1}{2}}$

e. $\large\frac{-3x - 1}{2x + 1}, x \neq {-\frac{1}{2}}$

Pembahasan
Invers fungsi bentuk tersebut dapat diselesaikan dengan rumus

Jika  y(x) = $\large\frac{ax + b}{cx + d}, x \neq {-\frac{d}{c}}$ maka $y^{-1}(x)$ = $\large\frac{-dx + b}{cx - a}, x \neq {\frac{a}{c}}$

Nilai a, b, c, dan d pada soal adalah

a = 1
b = 1
c = 2
d = −3

Nilai invers fungsi g(x) adalah

$g^{-1}(x)$ = $\large\frac{-dx + b}{cx - a}, x \neq {\frac{a}{c}}$

$g^{-1}(x)$ = $\large\frac{-3x + 1}{2x - 1}, x \neq {\frac{1}{2}}$

Jadi, invers fungsi g adalah opsi (B).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2010
Diketahui
f(x) = $\large\frac{9x + 1}{6x - 5}, x \neq {\frac{5}{6}}$

dan fungsi invers f(x) adalah f−1(x). Nilai f−1(−2) = ….

A. 14/3
B. 17/14
C. 6/21
D. −17/14
E. −14/3

Pembahasan
Dengan menggunakan rumus invers fungsi pada soal sebelumnya, diperoleh

$f^{-1}(x)$ = $\large\frac{5x + 4}{6x - 9}, x \neq {\frac{3}{2}}$

$f^{-1}(-2)$ = $\large\frac{-10 + 4}{-12 - 9}$

= 6/21
Jadi, nilai untuk f−1(−2) adalah 6/21 (C).

Soal tentang Komposisi dan Invers Fungsi UN 2014
Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x − 1 dan
g(x) = $\large\frac{x + 3}{2 - x}, x \neq {2}$

Fungsi invers dari (f ∘ g)(x) adalah (f ∘ g)−1(x) = ….

a.$\large\frac{2x + 4}{x + 3}, x \neq -3$

b. $\large\frac{2x - 4}{x + 3}, x \neq -3$

c. $\large\frac{2x + 4}{x - 3}, x \neq 3$

d. $\large\frac{-2x + 4}{x + 3}, x \neq -3$

e. $\large\frac{-2x + 4}{x - 3}, x \neq 3$

Pembahasan
Kita tentukan (f ∘ g)(x) terlebih dahulu
f(x) = 2x − 1
(f ∘ g)(x) = 2g(x) − 1

= 2$\large\frac{x + 3}{2 - x}$ - 1

= $\large\frac{2x + 6}{2 - x}$ - $\large\frac{2 - x}{2 - x}$

= $\large\frac{3x + 4}{-x + 2}$

Selanjutnya kita tentukan inversnya dengan menggunakan rumus invers di atas.

$(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{-2x + 4}{-x - 3}$

= $\large\frac{-2x + 4}{-x - 3}$ x  $\large\frac{-1}{-1}$

= $\large\frac{2x - 4}{x + 3}$, $x\neq -3$

Jadi, invers dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (B).

Soal No. 11 tentang Komposisi FungsiThn 2013
Diketahui fungsi f(x) = x − 4 dan g(x) = x2 − 3x+ 7. Fungsi komposisi (g ∘ f)(x) = ….
A. x2 − 3x + 3
B. x2 − 3x + 11
C. x2 − 11x + 15
D. x2 − 11x + 27
E. x2 − 11x + 35

Pembahasan
Perhatikan fungsi komposisi yang ditanyakan!
(g ∘ f)(x) = g[f(x)]
Letak fungsi g ada di depan sehingga kita harus berpatokan pada fungsi g(x).
g(x) = x2 − 3x + 7
g[f(x)] = [f(x)]2 − 3f(x) + 7
= (x − 4)2 − 3(x − 4) + 7
= x2 − 8x + 16 − 3x + 12 + 7
= x2 − 11x + 35
Jadi, fungsi komposisi (g ∘ f)(x) adalah opsix2 − 11x + 35 (E).

Soal No. 12 tentang Invers Fungsi thn 2013
Diketahui fungsi
g(x) = $\large\frac{x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$
Invers fungsi g adalah g−1(x) = ….

a. $\large\frac{x + 3}{x - 1}$, $x \neq 1$

b. $\large\frac{x + 3}{x + 1}$, $x \neq -1$

c. $\large\frac{x + 1}{x - 3}$, $x \neq 3$

d. $\large\frac{x + 1}{x + 3}$, $x \neq -3$

e. $\large\frac{x - 1}{x - 3}$, $x \neq 3$

Pembahasan
Invers fungsi pecahan linear dirumuskan:

Jika  y(x) = $\large\frac{ax + b}{cx + d}, x \neq {-\frac{d}{c}}$ maka $y^{-1}(x)$ = $\large\frac{-dx + b}{cx - a}, x \neq {\frac{a}{c}}$

Berdasarkan rumus di atas maka:

g(x) = $\large\frac{x + 3}{x - 1}

$g^{-1}(x)$ = $\large\frac{x + 3}{x - 1}, x \neq 1$

Jadi, Invers fungsi g adalah opsi (A).

8. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan (f o g)(a) = 81. Nilai a = …
A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

E. 3

PEMBAHASAN :

(f o g)(x) = f(5x + 4)

= 6(5x + 4) – 3

= 30x + 21

(f o g)(a) = 30a + 21 = 81

30a = 60

a = 2

JAWABAN : D

9. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p = …

A. 30

B. 60

C. 90

D. 120

E. 150

PEMBAHASAN :

g(f(x)) = g(2x + p)

= 3(2x + p) + 120

= 6x + 3p + 120

f(g(x)) = f(3x + 120)

= 2(3x + 120) + p

= 6x + 240 + p

karena g(f(x)) = f(g(x)), maka berlaku :

6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p

2p = 120

p = 60

JAWABAN : B

10. Soal No. 11 tentang Komposisi dan Invers Fungsi thn 2014

Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan g(x) = (x + 1)/x, x ≠ 0. Invers fungsi (f o g)(x) adalah (f og)−1(x) = ….
a. $(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{2x}{x - 3}$, $ x \neq 3$

b. $(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{2x}{x + 3}$, $ x \neq -3$

c. $(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{2}{x - 3}$, $ x \neq 3$

d. $(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{2}{x + 3}$, $ x \neq -3$

e. $(fog)^{-1}(x)$ = $\large\frac{x-2}{x + 3}$, $ x \neq -3$

Pembahasan
Komposisi fungsi (f o g)(x) biasanya dibaca “fbundaran g“. Artinya, di dalam fungsifterkandung fungsi g(x) atau fungsi g(x) tersarang dalam fungsi f.

f(x) = 2x + 1
(f o g)(x) = f[g(x)]
= 2g(x) + 1

f[g(x)] = 2g(x) + 1 mengikuti pola f(x) = 2x + 1. Sekarang kita operasikan fungsi g(x) pada komposisi fungsi tersebut.

(f o g)(x) = 2g(x) + 1

(f o g)(x) = 2 $\large\frac{x + 1}{x} + 1$

(f o g)(x) = $\large\frac{2x + 2}{x} + \frac{x}{x}$ =  $\large\frac{3x + 2}{x}$

Untuk menentukan fungsi inversnya kita gunakan rumus berikut ini.

Jika  y(x) = $\large\frac{ax + b}{cx + d}, x \neq {-\frac{d}{c}}$ maka $y^{-1}(x)$ = $\large\frac{-dx + b}{cx - a}, x \neq {\frac{a}{c}}$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh:

(f o g)(x) = $\large\frac{3x + 2}{x + 0} $ →$(f o g)^{-1}$ = $\large\frac{0x + 2}{x - 3} $ = $\large\frac{2}{x - 3} $ 

Jadi, invers komposisi fungsi tersebut adalah opsi (C).

Demikianlah Pembahasan Soal Lengkap Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers, semoga bermanfaat
Download kkaktrichannel.info di play store
klik gambar diatas untuk download App atau ketik KeceApps di Play store

Belum ada Komentar untuk "Pembahasan Soal Lengkap Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel