Ringkasan Materi Aturan Sinus dan Cosinus Matematika SMA

Ringkasan Materi Aturan Sinus dan Cosinus Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Rumus Aturan sinus dan aturan cosinus". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus aturan sinus, rumus aturan cosinus, Contoh dan pembahasan soal aturan sinus dan cosinus Latihan soal aturan sinus dan cosinus .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Aturan Sinus dan Cosinus ( Matematika SMA )

Rumus Aturan Sinus dan Cosinus

A. Pendahuluan

Kita tahu bahwa, segitiga terdiri dari 3 sisi dan 3 sudut, dengan jumlah ketiga sudut adalah sebesar 180°. Untuk segitiga siku-siku, cukup dengan 1 sisi dan 1 sudut (tidak termasuk sudut siku-siku) ataupun 2 sisi diketahui, kita telah dapat menentukan sisi dan sudut lainnya, yaitu dengan menggunakan phythagoras ataupun perbandingan trigonometri yang telah dipelajari sebelumnya.

Sedangkan untuk segitiga sembarang, minimal dibutuhkan 3 unsur yang diketahui, yaitu

• sisi, sudut, sudut
• sudut, sisi, sisi
• sisi, sisi, sisi

Kemudian dari unsur-unsur yang diketahui, kita dapat menggunakan aturan sinus atau aturan cosinus untuk menentukan sisi-sisi ataupun sudut-sudut yang lain.

Perhatikan segitiga berikut !

aturan sinus dan cosinus

sisi di depan sudut A adalah BC = a
sisi di depan sudut B adalah AC = b
sisi di depan sudut C adalah AB = c

B. Rumus Aturan Sinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sinya a, b dan c, dengan
A adalah sudut di depan sisi a
B adalah sudut di depan sisi b
C adalah sudut di depan sisi c
berlaku $$\mathrm{\frac{\mathit{a}}{sin\,A}=\frac{\mathit{b}}{sin\,B}=\frac{\mathit{c}}{sin\,C}}$$
Contoh 1
Diketahui segitiga ABC dengan ∠A = 45°, ∠B = 30° dan panjang AC  = 6. Tentukan panjang BC !

contoh 1 aturan sinus

Pembahasan :

\(\mathrm{\frac{BC}{sin\,45^{\circ}}=\frac{6}{sin\,30^{\circ}}}\)

BC = \(\mathrm{\frac{6\times sin\,45^{\circ}}{sin\,30^{\circ}}}\)
BC = \(\mathrm{\frac{6\times \frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}}\)
BC = 6√2

Jadi, panjang BC adalah 6√2


Contoh 2
Tentukan besar sudut θ dari segitiga berikut

contoh 2 aturan sinus

Pembahasan :

\(\mathrm{\frac{8}{sin\,\theta}=\frac{4\sqrt{6}}{sin\,60^{\circ}}}\)

sin θ = \(\mathrm{\frac{8\times sin\,60^{\circ}}{4\sqrt{6}}}\)
sin R = \(\mathrm{\frac{8\times \frac{1}{2}\sqrt{3}}{4\sqrt{6}}}\) (rasionalkan)
sin R = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)√2

⇒ θ = 45°

Jadi, besar sudut θ adalah 45°

C. Rumus Aturan Cosinus

Untuk sembarang segitiga yang panjang sisi-sisinya a, b dan c, dengan C adalah sudut di depan sisi c, berlaku $$\mathrm{\mathit{c}^{2}=\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-2\mathit{ab}.cos\,C}$$ atau dapat pula ditulis $$\mathrm{cos\,C=\frac{\mathit{a}^{2}+\mathit{b}^{2}-\mathit{c}^{2}}{2\mathit{ab}}}$$
Contoh 3
Tentukan x dari segitiga berikut !

Contoh 3 aturan cosinus

Pembahasan :
Dengan aturan cosinus :
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. cos 60°
x² = 4² + 6² − 2. 4. 6. \(\frac{1}{2}\)
x² = 28
x = \(\sqrt{28}\) = 2√7

Jadi, nilai x adalah 2√7


Contoh 4
Diketahui segitiga PQR dengan PQ = 2√3, QR = 1 dan PR = √7. Jika  ∠Q = θ, tentukan θ !

Pembahasan :

contoh 4 aturan cosinus

Dengan aturan cosinus :
(√7)² = (1)² + (2√3)² − 2. 1. 2√3. cos θ
7 = 1 + 12 − 4√3. cos θ
4√3. cos θ = 6
cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)
cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3
⇒ θ = 30°

atau

cos θ = \(\frac{1^{2}+(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}{2.\,1.\,2\sqrt{3}}\)
cos θ = \(\frac{1+12-7}{4\sqrt{3}}\)
cos θ = \(\frac{6}{4\sqrt{3}}\) (rasionalkan)
cos θ = \(\frac{1}{2}\)√3
⇒ θ = 30°


Tips and Triks
Gunakan aturan sinus jika sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.
Perhatikan contoh 1, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 6 dan 30°.
Perhatikan contoh 2, sisi dan sudut yang berhadapan, yaitu 4√6 dan 60°.

Gunakan aturan cosinus jika sudut dan 2 sisi yang mengapit sudut tersebut diketahui atau ketiga sisi diketahui.
Perhatikan contoh 3, sudut apit 60° dan sisi yang mengapit 4 dan 6.
Perhatikan contoh 4, ketiga sisinya diketahui.

D. Latihan soal Aturan Sinus dan Cosinus

Soal Latihan 1
Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 8 dan AC = 5. Jika ∠A = 60°, tentukan :
- panjang BC
- ∠B
- ∠C

Pembahasan :

latihan 1 aturan sinus dan cosinus

Dengan aturan cosinus
BC² = 5² + 8² − 2. 5. 8. cos 60°
BC² = 25 + 64 − 80. \(\frac{1}{2}\)
BC² = 49
BC = 7

Dengan aturan sinus
\(\mathrm{\frac{7}{sin\,60^{\circ}}=\frac{5}{sin\,B}}\)
sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,sin\,60^{\circ}}{7}}\)
sin B = \(\mathrm{\frac{5.\,\frac{1}{2}\sqrt{3}}{7}}\)
sin B = 0,6186
B = sin^-1(0,6186)  (gunakan kalkulator)
B = 38,21°

A + B + C = 180°
60° + 38,21° + ∠C = 180°
C = 81,79°

diperoleh
- panjang BC = 7
- ∠B = 38,21°
- ∠C = 81,79°


Soal Latihan 2
Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Pembahasan :

latihan 2 aturan sinus dan cosinus

Dengan aturan cosinus :
cos θ = \(\frac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2.\,3.\,5}\)
cos θ = \(-\frac{1}{2}\)

Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°

sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60°  (K.II sinus positif)
sin θ = \(\frac{1}{2}\)√3

tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60°  (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3


Soal Latihan 3
Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A menuju pelabuhan B dengan arah 030° sejauh 20 mil. Kemudian berlayar lagi dari pelabuhan B menuju pelabuhan C dengan arah 150° sejauh 40 mil. Jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah...

Pembahasan :
Utara = 000°

latihan 3 aturan sinus dan cosinus

∠BAU dan ∠ABS merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga
∠BAU = ∠ABS = 30°

∠CBU dan ∠CBS saling berpelurus, sehingga
∠CBU + ∠CBS = 180°
150° + ∠CBS = 180°
∠CBS = 30°

Jadi, ∠B pada segitiga ABC adalah 60°

Dengan aturan cosinus
AC² = 20² + 40² − 2. 20. 40. cos 60°
AC² = 400 + 1600 − 1600. \(\frac{1}{2}\)
AC² = 1200
AC = \(\sqrt{400.\,3}\)
AC = 20√3

Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 20√3 mil.


Soal Latihan 4
Diketahui segi-8 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 10 cm. Keliling segi-8 tersebut adalah...

Pembahasan :

θ = \(\frac{360^{\circ}}{8}\) = 45°

Perhatikan segitiga AOB
s² = 10² + 10² − 2. 10. 10. cos 45°
s² = 200 − 200. \(\frac{1}{2}\)√2
s² = 200 − 100√2
s² = 100(2 − √2)
s = 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

K = 8s
K = 8. 10\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
K = 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

Jadi, keliling segi-8 tersebut adalah 80\(\sqrt{2-\sqrt{2}}\) cm.


Soal Latihan 5
Diketahui titik-titik A, B, C dan D terletak pada lingkaran dengan AB = 2√5 cm, BC = 5√2 cm, CD = 6 cm dan AD = 3√10 cm. Tentukan panjang diagonal BD !

Pembahasan :

ABCD merupakan segiempat tali busur sehingga jumlah sudut-sudut yang berhadapan adalah 180°
A + C = 180°
C = 180° − A
cos C = cos(180° − A)
cos C = −cos A

Perhatikan segitiga ABD
BD² = (3√10)² + (2√5)² − 2. 3√10. 2√5 cos A
BD² = 110 − 60√2 cos A  ......................(1)

Perhatikan segitiga BCD
BD² = (6)² + (5√2)² − 2. 6. 5√2 cos C
BD² = 86 − 60√2 (−cos A)
BD² = 86 + 60√2 cos A  .........................(2)

Dari persamaan (1) dan (2)
86 + 60√2 cos A = 110 − 60√2 cos A
120√2 cos A = 24
cos A = \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)

Dari persamaan (1)
BD² = 110 − 60√2 cos A
BD² = 110 − 60√2. \(\frac{1}{5\sqrt{2}}\)
BD² = 98
BD = \(\sqrt{49.\,2}\)
BD = 7√2

Jadi, panjang BD adalah 7√2 cm

Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA

Demikianlah materi Aturan Sinus dan Cosinus ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat