Ringkasan Materi Integral Cara Parsial Matematika SMA

Ringkasan Materi Integral Cara Parsial Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Integral Cara Parsial ? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus Integral Cara Parsial, Contoh dan pembahasan soal Integral Cara Parsial Latihan soal Integral Cara Parsial.di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Integral Cara Parsial ( Matematika SMA )

Integral Cara Parsial

A. Pendahuluan

Materi sebelumnya Kita sudah bahas tentang integral cara substitusi telah disebutkan bahwa jika suatu fungsi tidak dapat diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral, maka solusinya adalah dengan menggunakan metode substitusi.

Teknik atau metode integral parsial biasanya digunakan ketika suatu fungsi tidak dapat diintegralkan dengan metode substitusi, walaupun sebenarnya teknik ini juga dapat menjadi alternatif jika fungsi tidak dapat diintegralkan dengan rumus-rumus dasar integral.

Adapun fungsi-fungsi yang dimaksud adalah fungsi-fungsi yang melibatkan perkalian dari fungsi logaritma, invers, polinom, eksponensial dan trigonometri. Untuk jenjang pendidikan SMA , biasanya hanya dibatasi pada perkalian fungsi polinom dan trigonometri.

B. Rumus Integral Cara Parsial

Rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
Untuk memahami cara pengintegralan dengan metode parsial, simaklah contoh-contoh berikut.

C. Contoh Soal Integral Parsial

Contoh 1
∫ x sin x dx = ...

Pembahasan :
Langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi integran menjadi 2 bagian, yaitu u dan sisanya termasuk dx sebagai dv. Untuk integran yang memuat perkalian fungsi polinom dan trigonometri, pilihlah fungsi polinom sebagai u dan fungsi trigonometri termasuk dx sebagai dv.

Jadi, pilih :
u = x
dv = sin x dx

Langkah selanjutnya adalah menentukan du dan v :

• du diperoleh dari turunan u terhadap x $$\mathrm{{\color{Red} u=x}\Rightarrow {\color{Red} du=dx}}$$
• v diperoleh dari integral dv 

$$\mathrm{{\color{Red} dv=sin\,x\:dx}\Rightarrow {\color{Red} v=-cos\,x}}$$

Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x sin x dx = x (−cos x) − ∫ (−cos x) dx
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx
∫ x sin x dx = −x cos x + sin x + C


Contoh 2
∫ x² cos 2x dx = ...

Pembahasan :
Pilih :
u = x²  ⇒ du = 2x dx
dv = cos 2x dx  ⇒ v = \(\frac{1}{2}\)sin 2x

Substitusi ke rumus integral parsial :
$$\mathrm{\int u\;dv=u\,v-\int v\:du}$$
∫ x² cos 2x dx
= x² . \(\frac{1}{2}\)sin 2x − ∫ \(\frac{1}{2}\)sin 2x . 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x − ∫ x sin 2x dx  ...........(1)

Untuk ∫ x sin 2x dx, pilih :
u = x  ⇒ du = dx
dv = sin 2x dx  ⇒ v = \(-\frac{1}{2}\)cos 2x 

 ∫ x sin 2x dx
= x . \(-\frac{1}{2}\)cos 2x − ∫ \(-\frac{1}{2}\)cos 2x  dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\)∫ cos 2x dx
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x
= \(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x  ..........(2)

Dengan mensubstitusi (2) ke (1) diperoleh :

∫ x² cos 2x dx
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x − (\(-\frac{1}{2}\)x cos 2x + \(\frac{1}{4}\)sin 2x)
= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C


Selain dengan menggunakan rumus integral parsial, bentuk integral diatas dapat pula diselesaikan dengan cara berikut ;

1. Turunkan u sampai menghasilkan nol dan integralkan dv.
2. Beri tanda (+) dan (−) secara berselang-seling (mulai dari positif) untuk setiap fungsi yang diturunkan.
3. Kalikan fungsi yang diturunkan dengan fungsi yang diintegralkan secara diagonal.

∫ x² cos 2x dx = ...

Misalkan :
u = x²
dv = cos 2x dx

Tabel Integral Parsial

∫ x² cos 2x dx
= +x² \(\frac{1}{2}\)sin 2x − 2x(\(-\frac{1}{4}\)cos 2x) + 2(\(-\frac{1}{8}\)sin 2x)

= \(\frac{1}{2}\)x² sin 2x + \(\frac{1}{2}\)x cos 2x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C

Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA

Demikianlah mmateri tentang Integral Cara Parsial ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat