Ringkasan Materi Integral dari Fungsi Trigonometri Matematika SMA

Ringkasan Materi Integral dari Fungsi Trigonometri Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Integral dari Fungsi Trigonometri? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus aturan Integral dari Fungsi Trigonometri, Contoh dan pembahasan soal Integral dari Fungsi Trigonometri Latihan soal Integral dari Fungsi Trigonometri.di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Integral dari Fungsi Trigonometri ( Matematika SMA )

Integral dari Fungsi Trigonometri

A. Rumus Dasar Integral Fungsi Trigonometri

     ∫ sin x dx = −cos x + C
     ∫ cos x dx = sin x + C
     ∫ sec² x dx = tan x + C
     ∫ csc² x dx = −cot x + C
     ∫ sec x . tan x dx = sec x + C
     ∫ csc x . cot x dx = −csc x + C

B. Perluasan Rumus

     ∫ sin ax dx = −\(\mathrm{\frac{1}{a}}\)cos ax + C
     ∫ sin (ax + b) dx = −\(\mathrm{\frac{1}{a}}\)cos (ax + b) + C

Untuk fungsi trigonometri lainnya dapat ditentukan dengan mengikuti pola diatas yang tentunya juga harus menyesuaikan dengan rumus dasar.

Contoh
a. ∫ sin 3x dx = \(-\frac{1}{3}\)cos 3x + C
b. ∫ 2 cos(3x + 1) dx = \(\frac{2}{3}\)sin (3x + 1) + C
c. ∫ 3 sec² (4x − 1) dx = \(\frac{3}{4}\)tan (4x − 1) + C
d. ∫ csc 4x . cot 4x dx = −\(\frac{1}{4}\)csc 4x + C

Terkadang fungsi-fungsi trigonometri yang diberikan belum tentu dapat diintegralkan secara langsung, untuk itu perlu terlebih dahulu diubah agar dapat diselesaikan dengan rumus-rumus diatas.
Berikut beberapa konsep trigonometri yang sering digunakan :

sin A = \(\mathrm{\frac{1}{csc\,A}}\)
cos A = \(\mathrm{\frac{1}{sec\,A}}\)
tan A = \(\mathrm{\frac{sin\,A}{cos\,A}}\)
cot A = \(\mathrm{\frac{cos\,A}{sin\,A}}\)

sin²A + cos²A = 1
tan²A = sec²A − 1
cot²A = csc²A − 1

sin 2A = 2 sin A cos A
cos 2A = cos²A − sin²A
cos 2A = 1 − 2sin²A
cos 2A = 2cos²A − 1

sin²A = \(\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\)cos 2A
cos²A = \(\mathrm{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\)cos 2A

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A−B)
2 cos A sin B = sin (A+B) − sin (A−B)
2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A−B)
−2 sin A sin B = cos (A+B) − cos (A−B)

C. Contoh Soal Integral Fungsi Trigonometri

Contoh 1
∫ sin²x dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ (\(\mathrm{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}\)cos 2x) dx
= \(\frac{1}{2}\)x − \(\frac{1}{2}\). \(\frac{1}{2}\)sin 2x + C
= \(\frac{1}{2}\)x − \(\frac{1}{4}\)sin 2x + C


Contoh 2
∫ (sin 3x − cos 3x)² dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ (sin²3x + cos²3x − 2 sin 3x cos 3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 2.3x) dx
⇒ ∫ (1 − sin 6x) dx
= x − (\(-\frac{1}{6}\)cos 6x) + C
= x + \(\frac{1}{6}\)cos 6x + C


Contoh 3
 ∫ (tan²4x + 3) dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ (sec²4x − 1 + 3) dx
⇒ ∫ (sec²4x + 2) dx
= \(\frac{1}{4}\)tan 4x + 2x + C


Contoh 4
∫ (tan 2x − sec 2x)² dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ (tan²2x + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (sec²2x − 1 + sec²2x − 2 sec 2x tan 2x) dx
⇒ ∫ (2sec²2x − 2 sec 2x tan 2x − 1) dx
= \(\frac{2}{2}\)tan 2x − \(\frac{2}{2}\)sec 2x − x + C
= tan 2x − sec 2x − x + C


Contoh 5
∫ 4 sin 4x cos 2x dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ \(\frac{4}{2}\)[sin (4x+2x) + sin (4x−2x)] dx
⇒ ∫ (2sin 6x + 2sin 2x) dx
= \(-\frac{2}{6}\)cos 6x + (\(-\frac{2}{2}\)cos 2x) + C
= \(-\frac{1}{3}\)cos 6x − cos 2x + C


Contoh 6
\(\mathrm{\int \frac{1-tan^{2}x}{sec^{2}x}}\) dx = ...

Jawaban :
⇒ ∫ \(\mathrm{ \frac{1-(sec^{2}x-1)}{sec^{2}x}}\) dx
⇒ ∫ \(\mathrm{ \frac{2-sec^{2}x}{sec^{2}x}}\) dx
⇒ ∫ \(\mathrm{\left (\frac{2}{sec^{2}x}-\frac{sec^{2}x}{sec^{2}x}  \right )}\) dx
⇒ ∫ (2cos²x − 1) dx
⇒ ∫ cos 2x dx
= \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)sin 2x + C

Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA

Demikianlah materi  Integral dari Fungsi Trigonometri, semoga bermanfaat