Ringkasan Materi Integral Tertentu Matematika SMA

Ringkasan Materi Integral Tertentu Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Bagaimana bentuk rumus Integral Tertentu  ? ". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Rumus Integral Tertentu  Contoh dan pembahasan soal Integral Tertentu  Latihan soal Integral Tertentu .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.

Integral Tertentu  ( Matematika SMA )

Integral Tertentu 

A. Pendahuluan

Jika f kontinu pada interval [a, b] dan F adalah antiturunan dari f pada interval tersebut, maka : $$\mathrm{\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\left [ F(x) \right ]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}$$
Contoh :
1.  \(\mathrm{\int_{1}^{3}(2x-1)\;dx}\)
     \(\mathrm{=\left [ x^{2}-x \right ]_{1}^{3}}\)
     \(\mathrm{=\left ( 3^{2}-3 \right )-\left ( 1^{2}-1 \right )}\)
     \(=6-0\)
     \(=6\)

2.  \(\mathrm{\int_{0}^{1}\left ( x^{2}-3x \right )\;dx}\)
     \(\mathrm{=\left [ \frac{1}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2} \right ]_{0}^{1}}\)
     \(\mathrm{=\left (\frac{1}{3}(1)^{3}-\frac{3}{2}(1)^{2}  \right )-\left (\frac{1}{3}(0)^{3}-\frac{3}{2}(0)^{2}  \right )}\)
     \(=\frac{1}{3}-\frac{3}{2}\)
     \(=-\frac{7}{6}\)

B. Rumus Sifat-Sifat Integral Tertentu

1.  \(\mathrm{\int_{a}^{b}k\:f(x)\;dx=k\int_{a}^{b}f(x)\:dx}\)

2.  \(\mathrm{\int_{a}^{b}\left [f(x)\pm g(x)  \right ]\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\:dx\pm \int_{a}^{b}g(x)\:dx}\)

3.  \(\mathrm{\int_{a}^{a}f(x)\;dx=0}\)

4.  \(\mathrm{\int_{a}^{b}f(x)\;dx=-\int_{b}^{a}f(x)\;dx}\)

5.  \(\mathrm{\int_{a}^{c}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx+\int_{b}^{c}f(x)\;dx}\)
     dengan : a < b < c

C. Contoh Soal Integral Tertentu

Berikut contoh-contoh latihan soal integral tertentu :

Contoh 1
Jika \(\mathrm{f(x)=3x^{2}-4x}\) dan \(\mathrm{g(x)=2x+1}\), tentukan nilai dari :

a.  \(\mathrm{\int_{1}^{3}f(x)\:dx}\)

     Jawaban :
     \(\mathrm{\Rightarrow \int_{1}^{3}\left ( 3x^{2}-4x \right )\:dx}\)
     \(\mathrm{= \left [x^{3}-2x^{2}  \right ]_{1}^{3}}\)
     \(\mathrm{= \left ((3)^{3}-2(3)^{2}  \right )-\left ((1)^{3}-2(1)^{2}  \right )}\)
     \(=9-(-1)\)
     \(\mathrm{=10}\)

b.  \(\mathrm{\int_{-2}^{1}g(x)\:dx}\)

     Jawaban :
     \(\mathrm{\Rightarrow\int_{-2}^{1}(2x+1)\:dx}\)
     \(\mathrm{=\left [x^{2}+x  \right ]_{-2}^{1}}\)
     \(\mathrm{=\left ( 1^{2}+1 \right )-\left ( (-2)^{2}+(-2) \right )}\)
     \(=2-2\)
     \(=0\)

c.  \(\mathrm{\int_{0}^{1}\left (f(x)-g(x)  \right )\:dx}\)

Jawaban :
\(\mathrm{\Rightarrow \int_{0}^{1}\left (\left ( 3x^{2}-4x \right )-(2x+1)  \right )\:dx}\)
\(\mathrm{\Rightarrow \int_{0}^{1}\left (3x^{2}-6x-1  \right )\:dx}\)
\(\mathrm{=\left [x^{3}-3x^{2}-x  \right ]_{0}^{1}}\)
\(\mathrm{=\left (1^{3}-3(1)^{2}-1  \right )-\left ( 0^{3}-3(0)^{2}-0 \right )}\)
\(=-3-0\)
\(=-3\)


Contoh 2
Tentukan nilai a dari pengintegralan berikut !

a.  \(\mathrm{\int_{a}^{a+1}\left ( 2x+1 \right )\;dx=4}\)

     Jawaban :
     \(\mathrm{\Rightarrow \left [ x^{2}+x \right ]_{a}^{a+1}=4}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \left [ \left ( a+1 \right )^{2}+\left ( a+1 \right ) \right ]-\left [ a^{2}+a \right ]=4}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a^{2}+2a+1+a+1-a^{2}-a=4}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow 2a+2=4}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow 2a=2}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a=1}\)


b.  \(\mathrm{\int_{1}^{a}\left ( 2x-2 \right )\;dx=2a+1\;\;;\,a>0}\)

     Jawaban :
     \(\mathrm{\Rightarrow\left [ x^{2}-2x \right ]_{1}^{a}=2a+1}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \left ( a^{2}-2a \right )-\left ( 1^{2}-2.1 \right )=2a+1}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a^{2}-2a+1=2a+1}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a^{2}-4a=0}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a\left ( a-4 \right )=0}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a=0\;atau\;a=4}\)
     Karena a > 0, maka \(\mathrm{a=4}\)


c.  \(\mathrm{\int_{a}^{1}\left ( 3x^{2}+2x \right )\;dx=-10\;\;;\,a\in R}\)

     Jawaban ;
     \(\mathrm{\Rightarrow \left [ x^{3}+x^{2} \right ]_{a}^{1}=-10}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow \left (1^{3}+1^{2}  \right )-\left ( a^{3}+a^{2} \right )=-10}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow 2-a^{3}-a^{2}=-10}\)
     \(\mathrm{\Rightarrow a^{3}+a^{2}-12=0}\)

Nilai a yang mungkin adalah faktor dari 12, yaitu : ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Nilai a yang memenuhi adalah a = 2, karena :
\(\mathrm{\Rightarrow 2^{3}+2^{2}-12=0}\)


Contoh 3
Nilai dari \(\mathrm{\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (2\,cos\:2x-sin\,x  \right )\;dx}\) adalah...

Jawaban :
\(\mathrm{\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left (2\,cos\:2x-sin\,x  \right )\;dx}\)
\(\mathrm{=\left [ 2\,\frac{1}{2}sin\,2x-(-cos\,x) \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}}\)
\(\mathrm{=\left [ sin\,2x+cos\,x \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}}\)
\(\mathrm{=\left ( sin\,2\left ( \frac{\pi }{2} \right )+cos\,\left ( \frac{\pi }{2} \right ) \right )-\left ( sin\,2(0)+cos\,0 \right )}\)\(\mathrm{=\left ( sin\,\pi+cos\left ( \frac{\pi }{2} \right )  \right )-\left ( sin\,0+cos\,0 \right )}\)
\(=\left ( 0+0 \right )-\left ( 0+1 \right )\)
\(=-1\)

Materi Belajar Matematika Lainnya :

Materi Matematika SMA

Demikianlah materi tentang Integral Tertentu ( Matematika SMA ), semoga bermanfaat