Ringkasan Materi Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku Matematika SMA
Ringkasan Materi Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku Matematika SMA. ada pertanyaan sebagai berikut : "Rumus Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku". untuk menjawab pertanyaan tersebut kalian dapat membaca Artikel Materi Matematika SMA tentang Besar perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku, rumus pythagoras trigonometri Perbandingan sin,cos.tan pada segitiga siku-siku .di Langsung Klik, langsung klik wadah tempat belajar untuk SMA, SMK dan MA. Langsung klik menyediakan materi, contoh, soal, rangkuman, ringkasan, buku saku, motivasi, saran untuk mempermudah belajar para siswa-siswi yang sedang menempuh pembelajaran di tingkat SMA,SMK dan MA.
 |
| Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku ( Matematika SMA ) |
Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga siku-siku
A. Rangkuman Rumus
Jika berbicara tentang dasar trigonometri, mutlak kita akan berhadapan dengan segitiga siku-siku, karena trigonometri itu sendiri didefinisikan berdasarkan konsep kesebangunan pada segitiga siku-siku.
Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ
Diberikan segitiga ABC siku-siku di B dengan ∠ A = θ
 |
| Perbandingan Trigonometri segitiga siku siku |
Jika sisi di depan sudut (opposite) dinamakan "depan", sisi di samping sudut (adjacent) dinamakan "samping" dan sisi miring (hypotenuse) dinamakan "miring", maka perbandingan sisi-sisi tersebut didefinisikan sebagai berikut :
$$\mathrm{sin(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\;\color{Red} mi}ring\;\;}\;\;\;\;csc(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\;\;\color{Red} de}pan\;\;}}$$ $$\mathrm{cos(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} mi}ring}\;\;\;\;sec(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\color{Red} sa}mping}}$$ $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\color{Red} sa}mping}\;\;\;\;cot(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} de}pan}}$$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis $$\mathrm{csc(\theta )=\frac{1}{sin(\theta )}}$$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis $$\mathrm{sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )}}$$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )}}$$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )})}$$ sehingga $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}}$$
Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
$$\mathrm{sin(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\;\color{Red} mi}ring\;\;}\;\;\;\;csc(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\;\;\color{Red} de}pan\;\;}}$$ $$\mathrm{cos(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} mi}ring}\;\;\;\;sec(\theta )=\frac{{\color{Red} mi}ring}{{\color{Red} sa}mping}}$$ $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{{\color{Red} de}pan}{{\color{Red} sa}mping}\;\;\;\;cot(\theta )=\frac{{\color{Red} sa}mping}{{\color{Red} de}pan}}$$
Keterangan :
sin untuk sinus
cos untuk cosinus
tan untuk tangen
csc untuk cosecan
sec untuk secan
cot untuk cotangen
Catatan :
Sisi depan dan sisi samping dapat berubah tergantung sudut yang digunakan, sedangkan sisi miring selalu sama, yaitu sisi terpanjang dan letaknya selalu di depan sudut siku-siku.
Dari definisi diatas dapat kita amati dan simpulkan sebagai berikut :
Cosecan adalah kebalikan dari sinus, ditulis $$\mathrm{csc(\theta )=\frac{1}{sin(\theta )}}$$ Secan adalah kebalikan dari cosinus, ditulis $$\mathrm{sec(\theta )=\frac{1}{cos(\theta )}}$$ Cotangen adalah kebalikan dari tangen, ditulis $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{1}{tan(\theta )}}$$
Tangen adalah perbandingan sinus terhadap cosinus, ditulis $$\mathrm{tan(\theta )=\frac{sin(\theta )}{cos(\theta )})}$$ sehingga $$\mathrm{cot(\theta )=\frac{cos(\theta )}{sin(\theta )}}$$
B. Contoh Latihan Soal
Contoh 1Tentukan semua perbandingan trigonometri untuk sudut α pada segitiga ABC dan sudut β untuk segitiga PQR !
 |
| contoh 1 Perbandingan trigonometri |
Pembahasan :
Perhatikan segitiga ABC
AC = \(\sqrt{\left (\sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}\) = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
cos(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{1}}\) = \(\sqrt{3}\)
csc(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
sec(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{smping}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2
cot(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Perhatikan segitiga PQR
QR = \(\sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^{2}-1^{2}}\) = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
tan(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
sec(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
cot(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
Contoh 2
Jika tan(α) = \(\sqrt{3}\) dan α sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha)}\)
Pembahasan:
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = \(\sqrt{3}\)
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\) = 2
Perhatikan segitiga ABC
AC = \(\sqrt{\left (\sqrt{3} \right )^{2}+1^{2}}\) = 2
Sesuai dengan definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
cos(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{2}}\)
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{AB}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{1}}\) = \(\sqrt{3}\)
csc(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{2\sqrt{3}}{3}}\)
sec(α) = \(\mathrm{\frac{miring}{smping}}\) = \(\mathrm{\frac{AC}{BC}}\) = \(\mathrm{\frac{2}{1}}\) = 2
cot(α) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{BC}{AB}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{3}}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
Perhatikan segitiga PQR
QR = \(\sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^{2}-1^{2}}\) = 1
Sesuai dengan definisi, maka
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{PR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
tan(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{QR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
csc(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
sec(β) = \(\mathrm{\frac{miring}{samping}}\) = \(\mathrm{\frac{PR}{PQ}}\) = \(\mathrm{\frac{\sqrt{2}}{1}}\) = \(\sqrt{2}\)
cot(β) = \(\mathrm{\frac{samping}{depan}}\) = \(\mathrm{\frac{PQ}{QR}}\) = \(\mathrm{\frac{1}{1}}\) = 1
Contoh 2
Jika tan(α) = \(\sqrt{3}\) dan α sudut lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sin^{2}(\alpha )+cos^{2}(\alpha)}\)
Pembahasan:
tan(α) = \(\mathrm{\frac{depan}{samping}}\) = \(\frac{\sqrt{3}}{1}\)
Karena perbandingan trigonometri memenuhi konsep kesebangunan, dapat ditulis :
depan = \(\sqrt{3}\)
samping = 1
Dengan teorema phytagoras
miring = \(\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}\) = 2
 |
| Perbandingan Trigonometri contoh 2 |
Berdasarkan definisi, kita peroleh
sin(α) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos(α) = \(\frac{1}{2}\)
sin2(α) + cos2(α) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))2 + (\(\frac{1}{2}\))2
sin2(α) + cos2(α) = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) = \(\frac{1}{2}\) dan sudut β lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sec^{2}(\beta) -tan^{2}(\beta) }\)
Pembahasan :
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\frac{1}{2}\)
depan = 1
miring = 2
samping = \(\sqrt{2^{2}-1^{2}}\) = \(\sqrt{3}\)
sin(α) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
cos(α) = \(\frac{1}{2}\)
sin2(α) + cos2(α) = (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))2 + (\(\frac{1}{2}\))2
sin2(α) + cos2(α) = \(\frac{3}{4}\) + \(\frac{1}{4}\)
sin2(α) + cos2(α) = 1
Jadi, sin2(α) + cos2(α) = 1
Contoh 3
Jika sin(β) = \(\frac{1}{2}\) dan sudut β lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{sec^{2}(\beta) -tan^{2}(\beta) }\)
Pembahasan :
sin(β) = \(\mathrm{\frac{depan}{miring}}\) = \(\frac{1}{2}\)
depan = 1
miring = 2
samping = \(\sqrt{2^{2}-1^{2}}\) = \(\sqrt{3}\)
 |
| Perbandingan Trigonometri contoh 3 |
Sesuai definisi
sec(β) = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
tan(β) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
sec2(β) − tan2(β) = (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))2 − (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\))2
sec2(α) − tan2(α) = \(\frac{4}{3}\) − \(\frac{1}{3}\)
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{csc^{2}(\gamma ) -cot^{2}(\gamma ) }\)
Pembahasan:
cos(γ) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
samping = \(\sqrt{2}\)
miring = 2
depan = \(\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
sec(β) = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
tan(β) = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
sec2(β) − tan2(β) = (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))2 − (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\))2
sec2(α) − tan2(α) = \(\frac{4}{3}\) − \(\frac{1}{3}\)
sec2(α) − tan2(α) = 1
Jadi, sec2(β) − tan2(β) = 1
Contoh 4
Jika cos(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari \(\mathrm{csc^{2}(\gamma ) -cot^{2}(\gamma ) }\)
Pembahasan:
cos(γ) = \(\mathrm{\frac{samping}{miring}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
samping = \(\sqrt{2}\)
miring = 2
depan = \(\sqrt{2^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\) = \(\sqrt{2}\)
 |
| Perbandingan trigonometri contoh 4 |
Sesuai definisi
csc(γ) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
cot(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = (\(\frac{2}{\sqrt{2}}\))2 − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\) dengan \(\mathrm{\angle A=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle C=\beta }\). Tunjukkan bahwa \(\mathrm{sin(\alpha )=cos(90^{\circ}-\alpha) }\) dan \(\mathrm{cos(\beta )=sin(90^{\circ}-\beta) }\)
Pembahasan : :
csc(γ) = \(\frac{2}{\sqrt{2}}\)
cot(γ) = \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 1
csc2(γ) − cot2(γ) = (\(\frac{2}{\sqrt{2}}\))2 − (1)2
csc2(γ) − cot2(α) = 2 − 1
csc2(γ) − cot2(α) = 1
Jadi, csc2(γ) − cot2(γ) = 1
Contoh 5
Diberikan segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\) dengan \(\mathrm{\angle A=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle C=\beta }\). Tunjukkan bahwa \(\mathrm{sin(\alpha )=cos(90^{\circ}-\alpha) }\) dan \(\mathrm{cos(\beta )=sin(90^{\circ}-\beta) }\)
Pembahasan : :
 |
| Perbandingan Trigonometri contoh 5 |
Sesuai definisi, maka
sin(α) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)
Contoh 6
Diketahui segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\). Titik D terletak pada BC sehingga \(\mathrm{CD=1}\). Jika \(\mathrm{\angle ADB=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle ACB=\beta }\), tunjukkan bahwa \(\mathrm{AB=\frac{tan(\alpha )\;tan(\beta )}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)
Pembahasan ::
sin(α) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
cos(β) = \(\mathrm{\frac{BC}{AC}}\)
Dari kedua persamaan diatas, maka
sin(α) = cos(β) ......................................(1)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
α + 90° + β = 180°
α + β = 90°
α = 90° − β .............................(2)
β = 90° − α .............................(3)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Substitusi (2) ke (1) diperoleh
sin(90° − β) = cos(β)
Substitusi (3) ke (1) diperoleh
sin(α) = cos(90° − α)
Diketahui segitiga ABC \(\mathrm{\perp B}\). Titik D terletak pada BC sehingga \(\mathrm{CD=1}\). Jika \(\mathrm{\angle ADB=\alpha }\) dan \(\mathrm{\angle ACB=\beta }\), tunjukkan bahwa \(\mathrm{AB=\frac{tan(\alpha )\;tan(\beta )}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)
Pembahasan ::
 |
| Perbandingan trigonometri contoh 6 |
Perhatikan segitiga ABD
tan(α) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD}}\)
⇔ AB = BD tan(α) ................................(1)
Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD+1}}\)
⇔ AB = (BD + 1) tan(β) .......................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) ..................................(3)
Substitusi (3) ke (1)
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) tan(α)
diperoleh
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\alpha )tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)
tan(α) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD}}\)
⇔ AB = BD tan(α) ................................(1)
Perhatikan segitiga ABC
tan(β) = \(\mathrm{\frac{AB}{BD+1}}\)
⇔ AB = (BD + 1) tan(β) .......................(2)
Dari persamaan (1) dan (2)
BD tan(α) = (BD + 1) tan(β)
BD tan(α) = BD tan(β) + tan(β)
BD tan(α) − BD tan(β) = tan(β)
BD(tan(α) − tan(β)) = tan(β)
BD = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) ..................................(3)
Substitusi (3) ke (1)
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\) tan(α)
diperoleh
AB = \(\mathrm{\frac{tan(\alpha )tan(\beta)}{tan(\alpha )-tan(\beta )}}\)
Materi Belajar Matematika Lainnya :
Demikianlah Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku ( Matematika SMA ). Semoga bermanfaat
Posting Komentar untuk "Ringkasan Materi Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku-Siku Matematika SMA"
Posting Komentar