Pembahasan Soal Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

kkaktrichannel.info ~ Assalamaualaikum Wr wb, Salam Kabataku, Sobat Kece kali ini kkaktri akan berbagi tentang materi Nilai Mutlak. Nilai Mutlak merupakan materi kelas 11 SMA/SMK Wajib Kurikulum 2013. Materi Nilai Mutlak meliputi Persamaan Nilai Mutlak dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak. berikut kkatri berikan Materi sekaligus Contoh soal dan pembahasan secara lengkap berupa artikel dan juga ada Video penjelasan tentang Nilai Mutlak yang kkaktri upload di channel yotub kkaktri di channel youtube KECEVID, silahkan adik-adik lihat di youtube sekiranya adik-adik ingin melihat detail proses menegerjakan soal yang ada di artikel ini.

Pengenalan Nilai Mutlak 

Menurut Sudut geometri Matematika, nilai mutlak dari x dapat ditulis | x |, adalah jarak dari x ke 0 pada garis bilangan real. Karena jarak selalu positif atau nol maka nilai mutlak x juga selalu bernilai positif atau nol untuk setiap x bilangan real.

Secara formal, nilai mutlak x didefinisikan dengan $$\mathrm{\left | x \right |=\left\{\begin{matrix}

\mathrm{{\color{white} -}x\;\;\;\;jika\; x\geq 0}\\ \mathrm{-x\;\;\;\;jika\;x< 0}

\end{matrix}\right.}$$ atau dapat pula ditulis

| x | = -x    jika x ≥ 0

| x | = -x    jika x < 0

Definisi diatas dapat kita maknai sebagai berikut :

Nilai mutlak bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri dan nilai mutlak bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Sebagai contoh,

| 7 | = 7      | 0 | = 0      | -4 | = -(-4) = 4

Jadi, jelas bahwa nilai mutlak setiap bilangan real akan selalu bernilai positif atau nol.

Persamaan \(\mathrm{\sqrt{\mathrm{x^{2}}}=x}\) hanya bernilai benar jika x ≥ 0. Untuk x < 0, maka \(\mathrm{\sqrt{\mathrm{x^{2}}}=-x}\). Dapat kita tulis $$\mathrm{\sqrt{\mathrm{x^{2}}}=\left\{\begin{matrix}\mathrm{{\color{white} -}x\;\;\;jika\;\;x\geq 0}\\ \mathrm{-x\;\;\;jika\;\;x< 0}\end{matrix}\right.}$$ 

Jika kita perhatikan, bentuk diatas sama persis dengan definisi nilai mutlak x. Oleh karenanya, pernyataan berikut benar untuk setiap x bilangan real.
$$\mathrm{|\,x\,|=\sqrt{\mathrm{x^{2}}}}$$
Jika kedua ruas persamaan diatas kita kuadratkan akan diperoleh
$$\mathrm{|\,x\,|^{2}=x^{2}}$$
Persamaan terakhir ini merupakan konsep dasar penyelesaian persamaan atau pertidaksamaan nilai mutlak dengan cara menguadratkan kedua ruas. Seperti yang kita lihat, tanda mutlak bisa hilang jika dikuadratkan.

Namun, pada artikel ini kaktri  akan lebih fokus menjelaskan dalam bentuk linier, baik dari kasus ataupun solusi, tanpa melibatkan bentuk kuadrat.

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Materi Singkat Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Diawal pengenalan Nilai Mutlak kkatri telah menerangkan bahwa nilai mutlak x adalah jarak dari x ke nol pada garis bilangan real. Pernyataan inilah yang akan kita gunakan untuk menemukan solusi dari persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dari bentuk linier.

| x | = a   dengan a > 0

Persamaan | x | = a artinya jarak dari x ke 0 sama dengan a. Perhatikan gambar berikut.

Jarak -a ke 0 sama dengan jarak a ke 0, yaitu a. Pertanyaannya adalah dimana x agar jaraknya ke 0 juga sama dengan a.

Nilai x ditunjukkan oleh titik merah pada gambar diatas, yaitu x = -a atau x = a. Jelas terlihat bahwa jarak dari titik tersebut ke 0 sama dengan a. Jadi, agar jarak x ke nol sama dengan a, haruslah x = -a atau x = a.

| x | < a  untuk a > 0

Pertidaksamaan | x | < a, artinya jarak dari x ke 0 kurang dari a. Perhatikan gambar berikut.

Nilai x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah, yaitu himpunan titik-titik diantara -a dan a yang biasa kita tulis -a < x < a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 kurang dari a. Jadi, agar jarak x ke 0 kurang dari a, haruslah -a < x < a.

| x | > a  untuk a > 0

Pertidaksamaan | x | > a artinya jarak dari x ke 0 lebih dari a. Perhatikan gambar berikut.

Nilai x ditunjukkan oleh ruas garis berwarna merah yaitu x < -a atau x > a. Jika kita ambil sebarang titik pada interval tersebut, sudah dipastikan jaraknya ke 0 lebih dari a. Jadi, agar jarak x ke nol lebih dari a, haruslah x < -a atau x > a.

Secara intuitif, uraian-uraian diatas dapat kita simpulkan sebagai berikut :

SIFAT : Untuk a > 0 berlaku

a.  | x | = a  ⇔  x = a  atau  x = -a

b.  | x | < a  ⇔  -a < x < a

c.  | x | > a  ⇔  x < -a  atau  x > a

Note :

Apabila kedua ruas memuat tanda mutlak, sifat a masih dapat digunakan, namun sifat b dan c sudah tidak dapat digunakan.

Contoh dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertanyaan Contoh 1

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 7| = 3

Pembahasan Contoh 1:

Berdasarkan sifat a :

|2x - 7| = 3  ⇔  2x - 7 = 3  atau  2x - 7 = -3

|2x - 7| = 3  ⇔  2x = 10  atau  2x = 4

|2x - 7| = 3  ⇔  x = 5  atau  x = 2

Jadi, HP = {2, 5}.

Pertanyaan Contoh 2

Tentukan HP dari |2x - 1| = |x + 4|

Pembahasan Contoh 2:

Berdasarkan sifat a :

|2x - 1| = |x + 4|

⇔  2x - 1 = x + 4  atau  2x - 1 = -(x + 4)

⇔  x = 5  atau  3x = -3

⇔  x = 5  atau  x = -1

Jadi, HP = {-1, 5}.

Pertanyaan Contoh 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari |2x - 1| < 7

Pembahasan Contoh 3:

Berdasarkan sifat b :

|2x - 1| < 7  ⇔  -7 < 2x - 1 < 7

|2x - 1| < 7  ⇔  -6 < 2x < 8

|2x - 1| < 7  ⇔  -3 < x < 4

Jadi, HP = {-3 < x < 4}.

Pertanyaan Contoh 4

Tentukan himpunan penyelesaian dari |4x + 2| ≥ 6

Pembahasan Contoh 4:

Berdasarkan sifat c :

|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x + 2 ≤ -6  atau  4x + 2 ≥ 6

|4x + 2| ≥ 6  ⇔  4x ≤ -8  atau  4x ≥ 4

|4x + 2| ≥ 6  ⇔  x ≤ -2  atau  x ≥ 1

Jadi, HP = {x ≤ -2  atau  x ≥ 1}.

Pertanyaan Contoh 5

Tentukan penyelesaian dari |3x - 2| ≥ |2x + 7|

Pembahasan Contoh 5:

Pertidaksamaan yang kedua ruasnya memuat tanda mutlak dapat diselesaikan dengan menguadratkan kedua ruas atau dengan menggunakan sifat :

|a| ≥ |b| ⇔ (a + b)(a - b) ≥ 0

Berdasarkan sifat diatas,

|3x - 2| ≥ |2x + 7|

⇔ ((3x - 2) + (2x + 7)) ((3x - 2) - (2x + 7) ≥ 0

⇔ (5x + 5) (x - 9) ≥ 0

Pembuat nol :

x = -1 atau x = 9

Dengan uji garis bilangan diperoleh

HP = {x ≤ -1  atau  x ≥ 9}

Pertanyaan Contoh 6

Tentukan HP dari 2 < |x - 1| < 4

Pembahasan Contoh 6 :

Ingat : a < x < b  ⇔  x > a  dan  x < b

Jadi, pertaksamaan 2 < |x - 1| < 4 ekuivalen dengan

|x - 1| > 2  dan  |x - 1| < 4

Berdasarkan sifat c :

|x - 1| > 2  ⇔  x - 1 < -2  atau  x - 1 > 2

|x - 1| > 2  ⇔  x < -1  atau  x > 3   ................(1)

Berdasarkan sifat b :

|x - 1| < 4  ⇔  -4 < x - 1 < 4

|x - 1| < 4  ⇔  -3 < x < 5   ............................(2)

Irisan dari (1) dan (2) diperlihatkan oleh garis bilangan berikut

Jadi, HP = {-3 < x < -1  atau  3 < x < 5}

Menggunakan Definisi untuk Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Dalam menyelesaikan persamaan dan pertaksamaan nilai mutlak bentuk linier dengan menggunakan definisi, akan sangat membantu jika bentuk |ax + b| kita jabarkan menjadi

|ax + b| = ax + b       jika x ≥ -b/a

|ax + b| = -(ax + b)   jika x < -b/a

Untuk langkah-langkah penyelesaiannya dapat disimak pada contoh-contoh berikut

Pertanyaan Contoh 7

Jabarkan bentuk nilai mutlak berikut :

a.  |4x - 3|

b.  |2x + 8|

Pembahasan Contoh 7

a.  Untuk |4x - 3|

     |4x - 3| = 4x - 3       jika  x ≥ 3/4

     |4x - 3| = -(4x - 3)   jika  x < 3/4

b.  Untuk  |2x + 8|

     |2x + 8| = 2x + 8       jika  x ≥ -4

     |2x + 8| = -(2x + 8)   jika  x < -4

Pertanyaan Contoh 8

Nilai x yang memenuhi persamaan |x - 2| = 2x + 1 adalah...

Pembahasan Contoh 8

|x - 2| = x - 2       jika  x ≥ 2

|x - 2| = -(x - 2)   jika  x < 2

Untuk x ≥ 2

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x - 2 = 2x + 1

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x = 3

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = -3

Karena x ≥ 2, maka x = -3 tidak memenuhi

Untuk x < 2

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -(x - 2) = 2x + 1

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -x + 2 = 2x + 1

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  -3x = -1

|x - 2| = 2x + 1  ⇔  x = 1/3

Karena x < 2, maka x = 1/3 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = 1/3.

Pertanyaan Contoh 9

Tentukan HP dari |x + 1| > 2x - 4

Pembahasan Contoh 9

|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1

|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

Untuk x ≥ -1

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x + 1 > 2x - 4

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x > -5

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 5

Irisan dari x ≥ -1 dan x < 5 adalah -1 ≤ x < 5   

Untuk x < -1

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -(x + 1) > 2x - 4

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -x - 1 > 2x - 4

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  -3x > -3

|x + 1| > 2x - 4  ⇔  x < 1

Irisan dari x < -1 dan x < 1 adalah x < -1   

Jadi, HP = {x < -1  atau  -1 ≤ x < 5}

Jadi, HP = {x < 5}

Pertanyaan Contoh 10

Nyatakan |x - 4| + |2x + 6| tanpa menggunakan simbol nilai mutlak

Pembahasan Contoh 10

|x - 4| = x - 4 jika x ≥ 4

|x - 4| = -(x - 4) jika x < 4

|2x + 6| = 2x + 6 jika x ≥ -3

|2x + 6| = -(2x + 6) jika x < -3

Jika interval-interval diatas digambarkan pada garis bilangan akan diperoleh

Untuk x < -3

|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) - (2x + 6)

|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 - 2x - 6

|x - 4| + |2x + 6| = -3x - 2

Untuk -3 ≤ x < 4

|x - 4| + |2x + 6| = -(x - 4) + (2x + 6)

|x - 4| + |2x + 6| = -x + 4 + 2x + 6

|x - 4| + |2x + 6| = x + 10

Untuk x ≥ 4

|x - 4| + |2x + 6| = (x - 4) + (2x + 6)

|x - 4| + |2x + 6| = x - 4 + 2x + 6

|x - 4| + |2x + 6| = 3x + 2

Dari uraian diatas, kita simpulkan

Pertanyaan Contoh 11

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi persamaan

|x + 1| + |2x - 4| = 9

Pembahasan Contoh 11

|x + 1| = x + 1       jika  x ≥ -1

|x + 1| = -(x + 1)   jika  x < -1

|2x - 4| = 2x - 4       jika  x ≥ 2

|2x - 4| = -(2x - 4)   jika  x < 2

Untuk x < -1

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -(x + 1) - (2x - 4) = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x - 1 - 2x + 4 = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -3x = 6

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -2

karena x < -1, maka x = -2 memenuhi.

Untuk -1 ≤ x < 2

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) - (2x - 4) = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 - 2x + 4 = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  -x = 4

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = -4

karena -1 ≤ x < 2, maka x = -4 tidak memenuhi.

Untuk x ≥ 2 

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  (x + 1) + (2x - 4) = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x + 1 + 2x - 4 = 9

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  3x = 12

|x + 1| + |2x - 4| = 9  ⇔  x = 4

karena x ≥ 2, maka x = 4 memenuhi.

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi persamaan diatas adalah x = -2  atau  x = 4.

Pertanyaan Contoh 12

Tentukan HP dari |x - 1| + |x + 2| ≥ 4

Pembahasan Contoh 12

|x - 1| = x - 1       jika  x ≥ 1

|x - 1| = -(x - 1)   jika  x < 1

|x + 2| = x + 2       jika  x ≥ -2

|x + 2| = -(x + 2)   jika  x < -2

Untuk x < -2 

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) - (x + 2) ≥ 4

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 - x - 2  ≥ 4

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -2x ≥ 5

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≤ -5/2

Irisan dari x < -2 dan x ≤ -5/2 adalah x ≤ -5/2

Untuk -2 ≤ x < 1

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -(x - 1) + (x + 2) ≥ 4

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  -x + 1 + x + 2 ≥ 4

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  3 ≥ 4  (bukan penyelesaian)

Untuk x ≥ 1 

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  (x - 1) + (x + 2) ≥ 4

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  2x ≥ 3

|x - 1| + |x + 2| ≥ 4  ⇔  x ≥ 3/2

Irisan dari x ≥ 1 dan x ≥ 3/2 adalah x ≥ 3/2

Jadi, HP = {x ≤ -5/2  atau  x ≥ 3/2}

Pertanyaan Contoh 13

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, tunjukkan bahwa untuk setiap x bilangan real dengan a > 0 berlaku | x | < a  ⇔  -a < x < a.

Pembahasan Contoh 13

Untuk x ≥ 0 maka | x | = x, akibatnya

| x | < a  ⇔  x < a

Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah

0 ≤ x < a

Jadi, untuk x ≥ 0 dan a > 0 berlaku

| x | < a  ⇔  0 ≤ x < a   .................................(1)

Untuk x < 0 maka | x | = -x, akibatnya

| x | < a  ⇔  -x < a

| x | < a  ⇔  x > -a

Karena a > 0, nilai x yang memenuhi adalah

  -a < x < 0

Jadi, untuk x < 0 dan a > 0 berlaku

| x | < a  ⇔  -a < x < 0   ................................(2)

Dari (1) dan (2) kita simpulkan

Untuk setiap x bilangan real dan a > 0 berlaku

| x | < a  ⇔  -a < x < 0  atau  0 ≤ x < a

| x | < a  ⇔  -a < x < a

Demikianlah soal Pembahasan Soal Konsep Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak. semoga bermanfaat