Contoh soal konsep Induksi Matematika (Bagian Pertama)

kkaktrichannel.info ~ Contoh Soal dan Pemmbahasan Konsep Induksi Matematika (Bagian Pertama). Berikut ini kkatri akan memberi penjelasan dan pembahasan mengenai Induksi Matematika untuk pelajaran Mmatematika Kelas 11 SMA/SMK Kurikulum 2013

Pengertian Induksi

Induksi matematika merupakan suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi matematika ini merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan yang bergantung pada n. Jika

P(1) benar, dan
untuk setiap bilangan bulat positif k, jika P(k) benar maka P(k + 1) benar
maka pernyataan P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Untuk menerapkan prinsip ini, kita harus melakukan dua langkah:

Langkah 1 Buktikan bahwa P(1) benar. (langkah dasar)

Langkah 2 Anggap bahwa P(k) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah 2 kita tidak membuktikan bahwa P(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jika P(k) benar, maka P(k + 1) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataan P(k) benar disebut sebagai hipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P(k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk menyatakan P(k + 1), substitusi kuantitas k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).

Video Pembahasan Soal

Jangan Lupa untuk Subscribe ya!

Soal 1: Pendahuluan

Tentukan pernyataan P(k + 1) untuk masing-masing pernyataan P(k) berikut.

P(k): Sk = [k²(k + 1)²]/4
P(k): Sk = 1 + 5 + 9 + … + [4(k – 1) – 3] + (4k – 3)
P(k): k + 3 < 5k²
P(k): 3k ≥ 2k + 1

Pembahasan

Kita substitusi k + 1 ke k dalam pernyataan P(k).
Soal 1-1
Untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1), kita ganti k pada pernyataan P(k) dengan k + 1.
Soal 1-2
Kita substitusi k dengan k + 1, dan kita peroleh
Soal 1-3
Serupa dengan soal-soal sebelumnya, kita substitusi k pada pernyataan P(k) dengan k + 1 untuk mendapatkan pernyataan P(k + 1).
Soal 1-4
Ketika menggunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus penjumlahan (seperti pada Soal 2), akan sangat membantu jika kita berpikir bahwa Sk + 1 = Sk + ak + 1, di mana ak + 1 adalah suku ke-(k + 1) dari penjumlahan tersebut.

Soal 2: Menggunakan Induksi Matematika

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan rumus

$S_n = 1 + 3 + 5 + 7 +.....+(2n - 1)$

          = $n^2$

untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Pembahasan 

Induksi matematika terdiri dari dua bagian yang berbeda.

Pertama, kita harus menunjukkan bahwa rumus tersebut benar ketika n = 1. Ketika n = 1, rumus tersebut benar, karena $s_1 = 1$ = $1^2$
Bagian kedua induksi matematika memiliki dua langkah. Langkah pertama adalah menganggap bahwa rumus tersebut benar untuk sebarang bilangan bulat k. Langkah kedua adalah menggunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwa rumus tersebut benar untuk bilangan bulat selanjutnya, k + 1. Anggap bahwa rumus
$S_k = 1+3 +5 +7 + .......(2k-1)$ = $k^2$
bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa rumus Sk + 1 = (k + 1)² benar.
$S_{k+1}$ = 1+3 +5 +7 + .......(2k-1)+ [2(k+1) -1] (note: $S_{k+1}$ = $S_k$ + $a_{k+1}$

 = [1+3 +5 +7 + .......(2k-1)]+ (2k + 2 -1)(note : kelompokan suku-suku untuk membentuk $S_k$. Subtitusi $S_k$ dengan $K^2$

= $S_k$ + 2k + 1

= $K^2$ + 2k + 1

= (k + 1)$^2$

Dengan menggabungkan hasil pada langkah (1) dan (2), kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa rumus tersebut benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 1.

Soal 3: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan bulat positif n,

1 + 2 + 3 + .... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$

Pembahasan 

Misalkan P(n) adalah pernyataan 1 + 2 + 3 + .... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$. Kita akan menunjukkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Kita harus menunjukkan bahwa P(1) benar. Dari rumus di atas, pernyataan P(1) menyatakan
1 = $\frac{1(1 +1)}{2}$
dan pernyataan ini dengan jelas bernilai benar.
Anggap bahwa P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah
1 + 2 + 3 + .... + k = $\frac{k(k+1)}{2}$
Kita akan gunakan hipotesis tersebut untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu
1 + 2 + 3 + .... + k  +(k+1)= $\frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}$
Sehingga, kita mulai dengan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan.
Soal 3-2
1 + 2 + 3 + ....+ k + (k +1)
   = [1 + 2 + 3 + ....+ k] + (k + 1)         Kelompokakan k suku pertama
   =$\frac{k(k+1)}{2}$ + (k + 1)        Hipotesis induksi
   =(k+1)($\frac{k}{2}$ +1)                Faktorkan k + 1
  = (k+1)($\frac{k + 2}{2}$ )              Samakan penyebut
  =$\frac{(k+1)[(k+1) +1]}{2}$         Tulis k + 2 sebagai (k + 1) + 1
Sehingga kebenaran P(k + 1) mengikuti kebenaran P(k), dan kita telah melakukan langkah induksi.
Setelah membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Rangkuman berikut ini memberikan rumus-rumus untuk jumlah pangkat dari n bilangan bulat positif pertama. Rumus-rumus ini sangat penting dalam kalkulus. Rumus 1 telah kita buktikan dalam Contoh 2. Rumus-rumus yang lain juga dapat dibuktikan dengan mengunakan induksi matematika.

Jumlah Bilangan Berpangkat

$\sum \limits_{k=1}^{n} {1}$ = n

$\sum \limits_{k=1}^{n} {k}$ = $\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum \limits_{k=1}^{n} {k^2}$ = $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum \limits_{k=1}^{n} {k^3}$ = $\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

Soal 4: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan 

Misalkan P(n) adalah pernyataan1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1) = $\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

Kita akan tunjukkan bahwa P(1) bernilai benar. Berdasarkan rumus di atas, P(1) menyatakan
1.2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$
yang bernilai benar.
Anggap bahwa P(k) benar dan kita memperoleh hipotesis induksi sebagai berikut.
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1) = $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$
Hipotesis ini akan kita gunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Pernyataan P(k + 1) menyatakan
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1)  + (k + 1)[(k + 1) + 1]= $\frac{(k + 1)((k+1) + 1)((k+ 1) +2)}{3}$
Kita mulai dari bentuk yang berada di ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk pada ruas kanan.
1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1)  + (k + 1)[(k + 1) + 1]
= [1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + k(k + 1)]  + (k + 1)[(k + 1) + 1]
= $\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ + (k + 1)(k + 2)
= (k + 1)(k+ 2)($\frac{k}{3}$ + 1)
= (k + 1)(k+ 2)($\frac{k + 3}{3}$)
=$\frac{(k + 1)((k+1) + 1)((k+1) + 2)}{3}$
Sehingga kita telah menunjukkan bahwa P(k + 1) mengikuti P(k). Sehingga kita telah membuktikan langkah induksi.
Berdasarkan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 5: Menggunakan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + n.$2^n$ = 2[1 + (n-1)$2^n$]

untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan 

Misalkan P(n) adalah pernyataan 1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + n.$2^n$ = 2[1 + (n-1)$2^n$]

Pertama kita buktikan bahwa P(1) benar. Pernyataan ini menyatakan
1.2 = 2[1 + (1-1)$2^1$]Soal 5-1
yang dengan jelas bernilai benar.
Selanjutnya, kita anggap bahwa P(k) bernilai benar dan menghasilkan hipotesis induksi sebagai berikut.
1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + k.$2^k$ = 2[1 + (k-1)$2^k$]
Hipotesis induksi tersebut akan kita gunakan untuk membuktikan kebenaran P(k + 1). Pernyataan P(k + 1) mengatakan
1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + k.$2^k$ + (k + 1). $2^{k+1}$ = 2[1 + ((k+1)-1)$2^{k+1}$]
Kita mulai dari ruas kiri, kemudian kita gunakan hipotesis induksi untuk mendapatkan bentuk yang berada di ruas kanan.
1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + k.$2^k$ + (k + 1). $2^{k+1}$
 =[ 1.2 + 2.$2^2$ + 3.$2^3$ + ... + k.$2^k$] + (k + 1). $2^{k+1}$
= 2[1 + (k-1)$2^k$] + (k + 1). $2^{k+1}$
= 2{1 + (k-1)$2^k$) + (k + 1). $2^{k}$}
= 2{1 + (k - 1 + k + 1).$2^k$}
= 2{1 + 2k.$2^k$}
= 2{1 + k. $2^{k +1}$}
= 2{1 + [(k +1) - 1 ].$2^{k +1}$}
Sehingga pada Langkah 2 ini kita telah membuktikan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar.
Jadi, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif n.

Bagian Berikut : Bagian 2 , Bagian 3

Demikianlah Contoh soal konsep Induksi Matematika (Bagian Pertama), semoga bermanfaat