Pembahasan Soal Induksi Matematika Kelas 11 Bagian Kedua

kkaktrichannel.info ~ Pembahasan Soal Induksi Matematika Kelas 11 Bagian Kedua (Bagian Pertama). Berikut ini kkatri akan memberi penjelasan dan pembahasan mengenai Induksi Matematika untuk pelajaran Mmatematika Kelas 11 SMA/SMK Kurikulum 2013

Pengertian Induksi

Induksi matematika merupakan suatu metode untuk membuktikan bahwa suatu pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Induksi matematika ini merupakan metode baku dalam pembuktian di bidang Matematika

Sering terjadi bahwa pernyataan P(n) bernilai salah untuk beberapa bilangan bulat positif pertama, tetapi bernilai benar untuk semua bilangan bulat positif selanjutnya. Sebagai contoh, mungkin kita ingin membuktikan P(n) benar untuk n ≥ 5. Perhatikan bahwa jika kita telah membuktikan P(5) benar, maka fakta ini, bersama dengan langkah induksi, akan mengakibatkan kebenaran P(5), P(6), P(7), …. Kasus ini merupakan variasi dari Prinsip Induksi Matematika. Model lain dari induksi matematika ini disebut sebagai Prinsip Induksi Matematika yang Diperluas. Contoh berikutnya mengilustrasikan hal ini.

Soal 6: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa 4n < $2^n$ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Pembahasan 

Misalkan P(n) menyatakan pernyataan 4n < 2n.

P(5) adalah pernyataan 4 ∙ 5 < $2^5$, atau 20 < 32, yang bernilai benar.

Anggap P(k) benar. Sehingga hipotesis induksi kita adalah

4k < $2^k$

Kita akan menggunakan hipotesis ini untuk menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu

4(k+1) < $2^{(k+1)}$

Sehingga kita mulai dengan bentuk di ruas kiri pertidaksamaan tersebut dan menggunakan hipotesis induksi untuk menunjukkan bahwa bentuk tersebut kurang dari bentuk yang berada di ruas kanan. Untuk k ≥ 5 kita mendapatkan

4(k +1) = 4k +4                         sifat Distributif

              <$2^k$ + 4                 Hipotesis induksi         

              <$2^k$ + 4k               karena 4< 4k   

              <$2^k$ + $2^k$       Hipotesis induksi 

              =2.$2^k$

              =$2^{(k+1)}$             sifat Eksponen

Sehingga P(k + 1) mengikuti P(k), sehingga kita telah melakukan langkah induksi.

Setelah kita membuktikan Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5.

Soal 7: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

(n + 1)$^2$ < 2n$^2$

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Pembahasan 

Misalkan P(n) menyatakan (n + 1)$^2$ < 2n$^2$.

Pernyataan P(3), yaitu

(3 + 1)$^2$ < 2.3$^2$

dengan jelas bernilai benar.

Anggap P(k): (k + 1)² < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k+1) + 1]² < 2(k + 1)². Untuk k ≥3, kita memperoleh

[(k + 1) + 1]$^2$ = (k + 1)$^2$ + 2(k + 1) + 1

                                < 2k$^2$ + 2k + 2 + 1

                                < 2k$^2$ + 4k + 4

                                =2(k + 1)$^2$

Sehingga kita telah menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P(k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan Langkah 1 dan 2, dengan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

Soal 8: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa n! > $2^n$  untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

Pembahasan 

Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > $2^n$ 

Pertama kita harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P(4) menyatakan bahwa

4! > 2$^4$

Karena 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 24 = 16, maka P(4) benar.

Kita anggap bahwa P(k): k! >$2^k$ benar. Kita akan tunjukkan P(k + 1): (k + 1)! > $2^{k +1}$ juga bernilai benar.

(k + 1)! =(k+1).k!

              > (k+1).2$^2$

              >2.2$^k$

             = 2$^{k +1}$

Sehingga pada langkah induksi ini kita dapat melihat bahwa kebenaran P(k) mengakibatkan P(k + 1). Jadi, dari Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

Soal 9: Membuktikan Pertidaksamaan dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{n}}$ > $\sqrt{n}$

untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 2.

Pembahasan 

Misalkan P(n) merupakan notasi dari pernyataan $\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{n}}$ > $\sqrt{n}$

Kita tunjukkan bahwa P(2) benar, yaitu

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$  > $\sqrt{2}$

Karena $\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$≈ 1,707 dan $\sqrt{2}$ ≈ 1,414 maka P(2) bernilai benar.

Anggap bahwa P(k) benar maka kita memperoleh hipotesis induksi seperti berikut.

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{k}}$ > $\sqrt{k}$

Selanjutnya, kita tunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar dengan menggunakan hipotesis tersebut. P(k + 1) menyatakan bahwa

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{k}}$ +  $\frac{1}{\sqrt{k + 1}}$> $\sqrt{k + 1}$

Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita ubah bentuk ruas kiri di atas menjadi bentuk yang ada di ruas kanan. Untuk k ≥ 2,

$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{k}}$ +  $\frac{1}{\sqrt{k + 1}}$

= [$\frac{1}{\sqrt{1}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$ + ... +  $\frac{1}{\sqrt{k}}$] +  $\frac{1}{\sqrt{k + 1}}$     kelompokan k suku pertama

>$\sqrt{k}$ + $\frac{1}{\sqrt{k + 1}}$    Hipotesis induksi

= $\frac{\sqrt{k^2 + k} + 1}{\sqrt{k +1}}$    samakan penyebut

> $\frac{\sqrt{k^2} + 1}{\sqrt{k +1}}$       $\sqrt{k^2 + k}$ > $\sqrt{k^2}$

=$\frac{k + 1}{\sqrt{k +1}}$       $\sqrt{k^2}$=k

=$\sqrt{k+1}$    sederhanakan

Sehingga kita telah menunjukkan bahwa jika P(k) benar maka P(k + 1) benar. Jadi dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 2.

Soal 10: Membuktikan Faktor

Buktikan bahwa 3 adalah faktor $4^n$ - 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena

$4^1$ - 1 = 3

Sehingga, 3 adalah faktor bentuk di atas.

Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4k – 1, kita harus menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari $4^{k + 1}$ - 1. Untuk melakukan hal ini, kita tulis seperti berikut.

$4^{k + 1}$ - 1 = $4^{k + 1}$ - $4^k$ + $4^k$ - 1     Kurangi dan Jumlahkan dengan $4^k$

=$4^k$(4-1) +($4^k$ - 1) Kelompokan suku-sukunya

= $4^k$(3) +($4^k$ - 1)   Sederhanakan

Karena 3 adalah faktor dari $4^k$(3)dan 3 juga merupakan faktor ($4^k$ - 1) , maka 3 adalah faktor dari ($4^k$ - 1) . Dengan menggabungkan hasil pada Langkah 1 dan 2, kita dapat menyimpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah faktor($4^n$ - 1)  untuk semua bilangan bulat positif n.

Bagian sebelumnya Bagian 1 , Bagian Selanjutnya Bagian 3

Demikianlah Pembahasan Soal Induksi Matematika Kelas 11 Bagian Kedua, semoga bermanfaat