Membuktikan Faktor Melalui Induksi Matematika

kkaktrichannel.info ~ Assalamualaikum wr wb , salam kabataku, sahabat kece saat ini kkaktri akan berbagi atau share lagi tentang Induksi Matematika, kali ini kkaktri akan meneruskan materi Induksi Matematika yang sebelumnya kkatri sudah jelaskan di bagian pertama dan bagian kedua. untuk Bagian ketiga ini kkatri akan mencontohkan sebuah pembuktian Faktor dalam sebuah Induksi Matematika. Silahkan kalian simak dan pahami contoh soal Membuktikan Faktor Melalui Induksi Matematika di bawah ini, contoh soal kaktri bahsa juga di channel youtube kkatri di KECEVID silahkan kalian cari materi Membuktikan Faktor dengan Induksi Matematika di channel youtube kecevid tersebut, dan jangan lupa untuk subscribe juga ya!.

Soal 11: Membuktikan Suatu Faktorisasi dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa x – y adalah faktor dari $x^n – y^n$ untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk: $x^{k+1} – y^{k +1 }$ = $x^k(x – y) + (x^k – y^k)y$.]

Pembahasan

Untuk n = 1, pernyataan tersebut benar karena

$x^1 - y^1 = x - y$

Sehingga x – y adalah faktor dari bentuk di atas.

Anggap bahwa x – y merupakan faktor dari $x^k – y^k$ untuk sebarang bilangan bulat positif k. Kita harus menunjukkan bahwa x – y merupakan faktor dari $x^{k + 1} – y^{k + 1}$. Perhatikan bahwa

$x^{k + 1} – y^{k + 1}$. = $x^k(x – y) + (x^k – y^k)y$

Karena x – y faktor dari x – y dan  $x^k – y^k$  (berdasarkan hipotesis induksi), maka kita dapat menyimpulkan bahwa x – y merupakan faktor dari $x^{k + 1} – y^{k + 1}$ Jadi, kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa x – y adalah faktor dari  $x^n – y^n$ untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 12: Membuktikan Faktor dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa salah satu faktor dari ($n^3 + 3n^2 +2n$) adalah 3 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan

Untuk n = 1, bentuk di atas menjadi

$1^3 + 3(1)^2 + 2(1) = 6$

Sehingga benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk tersebut.

Anggap bahwa, untuk sebarang bilangan bulat positif k, 3 merupakan salah satu faktor dari ($k^3 + 3k^2 +2k$). Kita harus menunjukkan bahwa 3 juga merupakan faktor dari $(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1)$. Pertama kita tulis $(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1)$ seperti berikut.

$(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1)$

= $k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2$

=$(k^3 + 3k^2 + 2k) + (3k^2 + 9k + 6)$

=$(k^3 + 3k^2 + 2k) + 3(k^2 + 3k + 2)$

Karena 3 merupakan faktor dari $(k^3 + 3k^2 + 2k)$ dan $3(k^2 + 3k + 2)$ maka 3 merupakan faktor dari $(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1)$. Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari$(n + 1)^3 + 3(n + 1)^2 + 2(n + 1)$untuk semua bilangan bulat positif n.

Soal 13: Membuktikan Faktor dengan Induksi Matematika

Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat positif n, salah satu faktor dari$ 2^{2n + 1} + 1$ adalah 3.

Pembahasan

Untuk n = 1 bentuk di atas menjadi

$ 2^{2(1) + 1} + 1$ = 9

Sehingga, benar bahwa 3 merupakan salah satu faktor dari 9.

Kita anggap bahwa untuk sebarang bilangan bulat positif k, Salah satu faktor $ 2^{2k + 1} + 1$ adalah 3. Sekarang kita akan menunjukkan bahwa 3 merupakan salah satu faktor$ 2^{2(k+1) + 1} + 1$.

$ 2^{2(k+1) + 1} + 1$ 

= $2^{2k + 3} + 1$

=$2^2.2^{2k +1} + 1$

=(3 + 1) $2^{2k +1} + 1$

=3$2^{2k + 1} + 2^{2k + 1} + 1$

Karena 3 merupakan salah satu faktor dari bentuk-bentuk 3 ∙ $2^{2k + 1}$ dan $2^{2k + 1} + 1$ maka 3 adalah faktor dari $2^{2(k + 1) + 1} + 1$. Jadi kita dapat menyimpulkan dengan menggunakan induksi matematika bahwa salah satu faktor dari $2^{2n + 1} + 1$ adalah 3.

Selanjutnya Bagian 4

Demikianlah untuk bagian ketiga tentang Induksi Matematika atau Membuktikan Faktor Melalui Induksi Matematika. semoga bermanfaat