Induksi Matematika Kuat (Bagian kelima)

kkaktrichannel.info ~ Assalamualaikum wr wb. Salam sejahtera untuk kita semua, kali ini kkaktri akan berbagi kembali tentang induksi. kali ini adalah bagian kelima. bagian kelima ini kkatri akan berbagi tentang induksi matematika digunakan untuk membuktikan pernyataan yang khusus menyangkut bilangan prima. bagian ini akan dibahas detai Induksi Matematika kuat, Induksi Matematika Kuat adalah induksi yang lebih meyakinkan dibandingkan induksi biasa. tapi sebelumnya yang belum membaca atau menyimak postingan sebelumnya bisa adik-adik baca di link dibawah ini:

1. Induksi Matematika Bagian 1 (lihat)

2. Induksi Matematika Bagian 2 (lihat)

3. Induksi Matematika Bagian 3.(lihat)

4. Induksi Matematika bagian 4 (lihat)

untuk bagian 1 hingga 4 itu kkaktri bahas dengan Induksi Biasa, untuk postingan kali ini kkatri akan memperkuat pembahasan tentang Induksi Matematika Kuat. Baiklah kkaktri akan bahas secara lengkap di bawah ini :

Pembukaan Induksi Matematika Kuat

Pada bagian awal pembahasan ini kita telah dikenalkan dengan induksi matematika yang selanjutnya digunakan untuk membuktikan beberapa pernyataan pada Contoh 1 – 18. Selanjutnya kita akan belajar bentuk lain dari induksi matematika, yang disebut sebagai induksi matematika kuat, yang sering digunakan ketika kita mengalami kesulitan untuk membuktikan suatu pernyataan dengan menggunakan induksi matematika biasa. Dalam induksi matematika kuat juga memiliki dua langkah, yaitu langkah dasar dan langkah induksi. Akan tetapi, pada langkah dasar memuat pembuktian-pembuktian untuk beberapa nilai awal, dan dalam langkah induksi kebenaran dari pernyataan P(n) diasumsikan tidak hanya untuk satu nilai n tetapi untuk semua nilai sampai k, dan kemudian kebenaran P(k + 1) dibuktikan.

Prinsip Induksi Matematika Kuat

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar)

Untuk sebarang bilangan bulat k ≥ b, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) semuanya bernilai benar.)

Pada contoh berikutnya kita akan mencoba untuk membuktikan suatu teorema keterbagian oleh bilangan prima. Teorema ini menyatakan bahwa semua bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Pembahasan Soal 19: Keterbagian oleh Bilangan Prima

Buktikan bahwa sebarang bilangan bulat yang lebih besar dari 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Pembahasan Misalkan P(n) adalah pernyataan: “Untuk semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.”

Pertama, kita tunjukkan bahwa P(2) bernilai benar. Karena 2 habis dibagi 2 dan 2 adalah bilangan prima, maka P(2): “2 habis dibagi oleh suatu bilangan prima” bernilai benar.

Misalkan k adalah sebarang bilangan bulat dengan k ≥ 2 dan kita anggap bahwa i habis dibagi oleh suatu bilangan prima untuk semua bilangan bulat i mulai dari 2 sampai k. Kita harus tunjukkan bahwa k + 1 juga habis dibagi bilangan prima.

Permasalahan kesatu (k + 1 adalah bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 habis dibagi oleh suatu bilangan prima, yaitu bilangan itu sendiri.

Permasalahan kedua  (k + 1 bukan bilangan prima): Pada kasus ini k + 1 = ab di mana a dan b adalah bilangan bulat dengan 1 < a < k + 1 dan 1 < b < k + 1. Sehingga, dengan kata lain, 2 ≤ a ≤ k, dan berdasarkan hipotesis induksi, a habis dibagi oleh suatu bilangan prima p. Dan karena k + 1 = ab, maka k + 1 habis dibagi a. Oleh karena itu, karena k + 1 habis dibagi a dan a habis dibagi p, maka dengan keterbagian transitif, k + 1 habis dibagi oleh bilangan prima p.

Jadi, dengan menggunakan induksi matematika kuat kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan bulat n ≥ 2, n habis dibagi oleh suatu bilangan prima.

Selanjutnya Induksi Matematika bagian 6 (Lihat)

demikianlah Pembahasan tentang Induksi Matematika Kuat (Bagian kelima). semoga bermanfaat